応力とひずみ：設計者が最初に押さえるべき基本概念

材料力学の計算をするとき、「応力って結局なんだっけ？」と一瞬迷ったことはないでしょうか。 公式は知っている。でもなぜその式になるのか、単位はどう扱えばいいのか、FEMが出した数値は信用していいのか——これらが曖昧なまま設計を続けていると、破損原因を見誤り、過剰設計や見落としにつながります。

この記事では、応力とひずみの定義を整理し、0.2%耐力・フォン・ミーゼス応力・FEMの特異点まで、実務で「なぜ」に答えられるレベルを目標に解説します。

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応力（Stress）とは何か

定義：内力を面積で割ったもの

外力が作用する物体の内部には、形状を維持しようとする内力（internal force）が生じています。 その内力を、着目する断面の面積で割ったものが応力です。

$$\sigma = \frac{F}{A}$$

記号	意味	単位
$\sigma$	垂直応力（Normal stress）	Pa, MPa, N/mm²
$F$	断面に垂直な内力（軸力）	N
$A$	断面積	m², mm²

下の図で、断面に垂直に作用する垂直応力と、断面を滑らせようとするせん断応力の違いを確認してください。

▲ 垂直応力σとせん断応力τの違いをアニメーションで解説

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垂直応力とせん断応力

垂直応力（Normal stress）$\sigma$

断面に垂直（法線方向）に作用する応力です。

• 引張応力：断面を引き離す方向 → 正（+）
• 圧縮応力：断面を押しつぶす方向 → 負（−）

$$\sigma = \frac{F_n}{A}$$

せん断応力（Shear stress）$\tau$

断面に平行（接線方向）に作用する応力です。ボルトのせん断破壊や、溶接ビードへの荷重などで登場します。

$$\tau = \frac{F_s}{A}$$

実務メモ：せん断降伏応力 $\tau_y$ と引張降伏応力 $\sigma_y$ の関係は、フォン・ミーゼス基準では以下の通りです（詳しくは後述）。 $\tau_y \approx 0.577 \, \sigma_y$ ボルト・溶接の強度評価では必ず使います。

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単位系の整理：MPa と N/mm² は同じ

設計現場で最も混乱しやすいのが単位です。結論から言えば、

$$1 \, \text{MPa} = 1 \, \text{N/mm}^2$$

これは以下のように確認できます。

$$1 \, \text{MPa} = 10^6 \, \text{Pa} = 10^6 \, \frac{\text{N}}{\text{m}^2} = 10^6 \, \frac{\text{N}}{(10^3 \, \text{mm})^2} = \frac{10^6 \, \text{N}}{10^6 \, \text{mm}^2} = 1 \, \frac{\text{N}}{\text{mm}^2}$$

SolidWorks・ANSYS・Fusion 360 などの主要FEMソフトはいずれも N/mm²（= MPa）を標準出力単位として使います。この変換は即答できるようにしておきましょう。

旧単位系との換算

古い設計図面や材料カタログでは、重力単位系が使われていることがあります。

単位	定義	MPa への換算	主な用途
Pa	$1 \, \text{N/m}^2$	$10^{-6} \, \text{MPa}$	微小圧力、気圧
MPa	$10^6 \, \text{Pa}$	1 MPa	現代の強度設計全般
N/mm²	—	1 MPa（同値）	FEMソフトの出力
kgf/cm²	—	$\approx 0.0981 \, \text{MPa}$	油圧機器の定格、古い資料
kgf/mm²	—	$\approx 9.81 \, \text{MPa}$	1990年代以前の材料データ

換算の実務ヒント：kgf/mm² → MPa は「約10倍」と覚えておけば十分です（正確には9.81倍）。古い図面で「降伏点 25 kgf/mm²」とあれば、約 245 MPa と即換算できます。

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ひずみ（Strain）とは何か

定義：変形量を元の長さで割ったもの

ひずみは「変形の程度」を表す無次元量です。

$$\varepsilon = \frac{\Delta L}{L_0}$$

実務では「マイクロひずみ（$\mu\varepsilon$）」単位がしばしば使われます。

$$1 \, \mu\varepsilon = 10^{-6}$$

構造用鋼の弾性域の限界は $1000 \sim 2000 \, \mu\varepsilon$（$0.1 \sim 0.2\%$）程度です。これを超えるひずみが計算結果に現れたら、その部位は塑性域に入っている可能性を疑いましょう。

せん断ひずみ $\gamma$

せん断応力に対応する変形は、角度の変化（ラジアン）として現れます。

$$\gamma = \frac{\delta}{L}$$

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フックの法則とヤング率

弾性域では、応力とひずみは線形関係にあります（フックの法則）。

$$\sigma = E \cdot \varepsilon$$

比例定数 $E$ が**ヤング率（縦弾性係数）**です。

重要な実務知識：ヤング率は材料の結晶構造に依存する物性値であり、焼き入れなどの熱処理を施して強度（降伏点）を上げても、ヤング率はほぼ変わりません。軟鋼も高張力鋼も、鋼である限り $E \approx 206 \, \text{GPa}$ です。「強い材料に変えたのにたわみが変わらない」という現象の原因はここにあります。

せん断応力とせん断ひずみの関係はせん断弾性係数 $G$ で表され、$E$ と $\nu$（ポアソン比）から求まります。

$$G = \frac{E}{2(1 + \nu)}$$

鋼材（$E \approx 206 \, \text{GPa}$、$\nu \approx 0.3$）では $G \approx 79 \, \text{GPa}$ となります。

下のツールで、材料を切り替えながら応力-ひずみ曲線の傾き（= ヤング率）の違いを体感してください。

応力-ひずみ線図インタラクター

軟鋼 SS400アルミ A6061-T6S45C (調質)

軟鋼 SS400

E = 206 GPa

σy = 245 MPa

σB = 400 MPa

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ポアソン比

棒を軸方向に引っ張ると、軸方向に伸びる一方で横方向には縮みます。この横ひずみと軸ひずみの比がポアソン比 $\nu$ です。

$$\nu = -\frac{\varepsilon_{\text{横}}}{\varepsilon_{\text{軸}}}$$

材料	ポアソン比 $\nu$	特記事項
鋼	約 0.3	最も一般的な金属
アルミ合金	約 0.33	鋼より横収縮がやや大きい
チタン合金	約 0.34	—
ゴム	約 0.5	ほぼ完全非圧縮（体積が変化しない）
コルク	約 0	横方向にほとんど変形しない（ワインの栓に適した理由）

FEMとの関係：材料定義では $E$ と $\nu$ の2つを入力すれば、等方弾性体の解析が成立します。$G$ は $E$ と $\nu$ から自動計算されます。ゴムのような $\nu \approx 0.5$ の材料は特殊な定式化（ハイパーエラスティックモデル）が必要になるため、汎用の線形弾性解析では注意が必要です。

ポアソン比アニメーション

鋼（ν=0.3）アルミ（ν=0.33）ゴム（ν=0.499）コルク（ν=0）

軸ひずみ ε_x = 0.0%

ポアソン比 ν = 0.300

軸ひずみ

ε_x = 0.0%

横ひずみ

ε_y = 0.00%

ポアソン比

ν = 0.300

ν = −ε_y / ε_x　（横ひずみ / 軸ひずみの比）

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代表的な設計材料の特性

材料ごとの数値感覚を持っておくことは、FEM結果の妥当性確認に直結します。

材料	ヤング率 $E$	降伏応力 $\sigma_y$	引張強度 $\sigma_B$	ポアソン比 $\nu$
SS400（一般構造用鋼）	206 GPa	245 MPa以上（板厚≤16mm）	400〜510 MPa	0.3
S45C（機械構造用鋼）	206 GPa	490 MPa以上（焼入れ焼戻し）	690 MPa以上	0.3
A6061-T6（アルミ合金）	69 GPa	240 MPa以上	290 MPa以上	0.33
Ti-6Al-4V（チタン合金）	110 GPa	880 MPa以上	950 MPa以上	0.34
CFRP（繊維方向）	70〜200 GPa	—	—	異方性あり

SS400の板厚依存性に注意

SS400は「引張強さ 400 MPa以上」を保証する鋼材ですが、降伏点は板厚によって変化します。

板厚	降伏点の下限
16 mm 以下	245 MPa 以上
16 mm 超〜40 mm 以下	235 MPa 以上
40 mm 超	215 MPa 以上

厚板を用いた溶接構造物の設計では見落としがちなポイントです。「SS400だから245 MPa」と決めつけず、使用板厚を確認してください。

アルミ合金の剛性の誤解

A6061-T6 の引張強度は SS400 に匹敵しますが、**ヤング率は鋼の約1/3（69 GPa）**です。同じ断面寸法・荷重条件では、鋼の3倍たわみます。アルミで軽量化を図る場合、強度は確保できても剛性（たわみ）が課題になることが多く、断面形状（断面二次モーメントを増やすリブ・フランジ追加）で対応するのが基本です。

チタン合金の強度と剛性の独立性

Ti-6Al-4V（Grade 5）は比強度が非常に高い（引張強度 950 MPa以上、密度 4.43 g/cm³）ですが、ヤング率は 110 GPa と鋼の約半分です。「強度は鋼の2倍近いが、剛性（たわみにくさ）は鋼の半分」という特性を理解しておかないと、「チタンに変えたのに変形が増えた」という結果になります。

CFRPの異方性

CFRPは繊維方向によって特性が激変します。繊維方向のヤング率は 200 GPa を超えることもありますが、繊維に直交する方向では 10 GPa 程度まで低下します。金属とは異なる「異方性設計」の思考が必要です。

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応力-ひずみ線図（S-S曲線）と 0.2%耐力

材料の引張試験で得られる応力-ひずみ線図は、材料の力学的特性をすべて示す「設計の地図」です。

指標	記号	意味
降伏応力	$\sigma_y$	永久変形が始まる応力。設計許容応力の基準
引張強度	$\sigma_B$（UTS）	材料が耐えうる最大応力。ネッキング開始点
0.2%耐力	$\sigma_{0.2}$（$R_{p0.2}$）	明確な降伏点がない材料での降伏強度代替値

0.2%耐力とは

アルミニウム合金・ステンレス鋼・高強度鋼など、S-S曲線に明確な降伏点が現れない材料では、0.2%耐力を降伏強度の代わりに使います。

定義：除荷後に 0.2%（= 0.002）の永久ひずみが残る応力。JIS規格では $R_{p0.2}$ と表記されます。

読み方：ひずみ軸の 0.2% の点から、弾性域の直線（傾き = ヤング率）に平行な線を引き、S-S曲線との交点を読み取ります。

下のグラフで、軟鋼（明確な降伏点あり）とアルミ合金（0.2%耐力で評価）のS-S曲線の違いを確認してください。

応力-ひずみ線図の比較：軟鋼 vs アルミ合金

0.2%オフセット線を表示

軟鋼 SS400（明確な降伏点あり） アルミ A6061-T6（0.2%耐力で評価） 0.2%オフセット線

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フォン・ミーゼス応力：多軸応力の評価

実際の部品には、縦・横・高さ方向の応力とせん断応力が複合して作用します。これを1つの数値で評価するのが**フォン・ミーゼス応力（相当応力）**です。FEMソフトのデフォルト表示もこの値です。

物理的な意味：ひずみエネルギー説

フォン・ミーゼス基準は「形状変化に使われるひずみエネルギーが閾値を超えたときに降伏する」という考え方に基づきます。延性材料（鋼・アルミなど）の実験結果とよく一致するため、設計現場で最も広く使われています。

主応力 $\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3$ で表すと：

$$\sigma_{VM} = \sqrt{\frac{(\sigma_1 - \sigma_2)^2 + (\sigma_2 - \sigma_3)^2 + (\sigma_3 - \sigma_1)^2}{2}}$$

この $\sigma_{VM}$ が材料の単軸降伏応力 $\sigma_y$ を下回れば、降伏しないと判定します。

$$\sigma_{VM} < \sigma_y \quad \Rightarrow \quad \text{安全}$$

せん断降伏強度 0.577 の由来

フォン・ミーゼス基準から、純粋せん断状態でのせん断降伏強度を求めると：

$$\tau_y = \frac{\sigma_y}{\sqrt{3}} \approx 0.577 \, \sigma_y$$

この係数 0.577 は、ボルトのせん断強度評価や溶接設計で頻出します。一方、トレスカ基準（最大せん断応力説）では係数が 0.5 となり、より保守的（厳しい）な判定を与えます。

基準	せん断降伏強度	特徴
フォン・ミーゼス	$0.577 \, \sigma_y$	延性材料の実験値とよく一致。FEMの標準
トレスカ	$0.500 \, \sigma_y$	保守的。脆性材料や安全が優先される設計に

下のビジュアライザーで、2軸応力状態を変化させながらフォン・ミーゼス楕円（降伏面）とトレスカ六角形を比較してください。

フォン・ミーゼス相当応力 計算ツール

σ_x = 100 MPa

σ_y = 0 MPa

τ_xy = 50 MPa

許容応力 σ_allow = 245 MPa

フォン・ミーゼス相当応力

σ_vm = 132.3 MPa

安全率 n = 1.85

σ_vm = √(σx² − σxσy + σy² + 3τxy²)　（平面応力）

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FEM結果を正しく読む：特異点とガウス点

ガウス点・節点・要素応力の違い

FEMソフトが応力を計算する内部プロセスを知っておくことで、解析結果の信頼性を正しく評価できます。

種類	算出方法	精度
ガウス点応力	各要素内部のサンプリング点で数値積分して計算	最も高精度
節点応力	ガウス点の値を節点へ外挿・平均化	一般的なプロット表示
要素応力	要素内の平均値	粗い評価

結果を確認する際は、最大値だけでなく「応力の等高線が滑らかか」「メッシュの分割ラインが不自然に強調されていないか」も見ましょう。隣接要素間で応力が急変している場合、メッシュが不足しているサインです。

特異点：過大応力値を設計判断に使ってはいけない場所

角部や荷重集中点など、理論上断面積がゼロに近づく箇所では、メッシュを細かくするほど応力値が無限大に向かって増大します。これは**数学的モデル化の限界（特異点）**であり、物理的な現象ではありません。

現実の部品には必ずRが付いており、そのRによって応力集中は有限に収まります。FEMで真っ赤な高応力表示が出ても、それが「現実のR加工で緩和される応力集中」なのか「解析モデル上の特異点」なのかを見極める判断力が設計者には必要です。特異点の応力値をそのまま合否判定に使うと、過剰設計の原因になります。

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まとめ：実務で使う数値感覚

項目	鋼材（SS400）での目安
ヤング率 $E$	206 GPa（≒ 200 GPa で概算）
せん断弾性係数 $G$	79 GPa
ポアソン比 $\nu$	0.3
降伏応力 $\sigma_y$	245 MPa以上（板厚16mm以下）
引張強度 $\sigma_B$	400〜510 MPa
弾性域のひずみ上限	$\varepsilon < 0.2\%$（= 2000 μɛ）
フォン・ミーゼスのせん断係数	$\tau_y \approx 0.577 \, \sigma_y$

FEMが 2000 MPa という応力を出したら「鋼材の引張強度を4倍以上超えている——何かおかしい」とすぐに気づける。この直感が、実務レベルの材料力学の出発点です。

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次のステップ

• 曲げ応力と断面二次モーメント：梁の強度計算へ
• 安全率の設定根拠：「なぜ3なのか」に答えられますか
• FEM結果を正しく読む：応力集中・メッシュ・特異点の実務判断

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